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在展开式中，a是按其幂指数由高到低罗列的， b是按其幂指数由低到高罗列的;首项a的次数与末项b的次数交流，都等于二项式乘方的次数;各项中 a，b的指数和也等于二项式乘方的次数;展开式中的项数比二项式乘方的次数多 1.展开式各项的统共的法则:每一滑首末两项统共都是1，中间各项统共等于它上一滑相邻的两个统共之和，第n行统共的和等于2^n-1.按照这个法则，不错把(a+b)^n(n=3，4，…)的展开式中各项的统共平直写出来.举例，(a+b)³的展开式中，各项的统共分袂为1，3，3，1.历史文章：心头相当｜杨辉三角2、洛书（幻方）传奇在很久已往，夏禹治水来到洛水，洛水中浮起一只大乌龟，乌龟背上有一个奇怪的图，图上有很多圈和点，这些机要的圈和点示意什么真义呢?有东说念主好奇的数了一下龟背上的圈数和点数，再用数字示意出来，发现这里面有相配好奇的关系:把龟背上的数填入3x3的正方形方格中，不论是把横着的3个数相加，依然把竖着的3个数相加，粗略把斜着的3个数相加，其和都等于15.图片
这即是咱们所说的三阶幻方，而相干幻方的最早记载，是约于公元前2200年在我国出现的“洛书”.3、斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列，因十三世纪意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子养殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这么一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34......这列数的法则是:从第3 项运转，每一项都等于前两项之和.在实验生涯中，斐波那契数列中的数和会常出目前咱们的目前，举例松果、树叶的罗列，某些花朵的花瓣数(如向日葵花瓣)，蜂巢，蜻蜓翅膀等，斐波那契数列在当代物理及化学等限制也有着泛泛的应用.闻名的斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”)即是把柄斐波那契数列画出来的螺旋弧线，当然界中存在很多斐波那契螺旋线的图案，是当然界最完竣的经典黄金比例.4、图解法求解一元二次方程图片
5、三平分角问题三平分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并排为古代数学的三浩劫题之一，该问题的完整证明为:在只用圆规及一把莫得刻度的直尺将一个给定角三平分.而如今数学上已阐述了在尺规作图的前提下，这个问题无解.历程东说念主们的征询，若将条目放宽，则不错将一个给定角三平分.举例阿基米德就曾给出用有刻度的直尺三平分角的关节、帕普斯借助反比例函数给出一种三平分角的关节，还有折纸法等等.历史文章：尺规作图若何三平分一个角？几何模子 | 芳贺折纸定理6、勾股定理（勾股数）中国事发现和征询勾股定理最陈腐的国度之一，称为商高定理，而更普随处则称为勾股定理.中国古代把直角三角形中较短的直角边叫作念勾，较长的直角边叫作念股，斜边叫作念弦.勾股定理，是几何学中一颗光彩扫视表明珠，被称为“几何学的基石”，希腊的闻名数学家毕达哥拉斯也发现了这个定理，因此寰球上很多国度又称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”.底下先容几种用来解说勾股定理的图形.1.传奇中毕达哥拉斯的证法(图①、图②)教唆:图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积格外.图片
2.弦图的另一种证法(图③)教唆:以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.图片
3.好意思国第 20 任总统茄菲尔德的证法(图④)教唆:3个三角形的面积之和=梯形的面积.历史文章：定贯通说｜6种关节解说勾股定理7、赵爽弦图三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“弦图”，用数形纠合的关节，给出了勾股定理的细心解说.如图，四个全等的直角三角形不错围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.通过对这个图形的切割、拼接，私密地应用面积关系解说了勾股定理.解说关节如下:设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，朱实面积=2ab，黄实面积=(b-a)2=b2-2ab+a²，朱实面积+黄实面积=a2+b2=大正方形面积=c2.图片
8、海伦-秦九韶公式古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年)，在数学史上以科罚几何测量问题而闻名，在他的著述《度量》一书中，给出了上述公式和它的解说，这一公式称为海伦公式.图片
海伦公式和秦九韶公式实质上是湮灭个公式，是以咱们一般也称此公式为海伦一秦九韶公式.历史文章：数学基础｜勾股定贯通说海伦公式9、黄金分割黄金分割是指将举座一分为二，较大部分与举座部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为 0.618，这个比值被称为黄金比例，这个比例被公合计是最能引起好意思感的比例.1.常见的几何图形有:黄金三角形(等腰三角形的顶角粗略两底角为36°)，黄金矩形(宽与长的比等于黄金比（√5-1）/2的矩形)，正五角星等;2.常见的生涯应用:建筑如古埃及的金字塔，巴黎的圣母院，法国的埃菲尔铁塔;雕刻如断臂维纳斯;名画如达·芬奇的作品《蒙娜丽莎》等;3.黄金螺旋线(如图①)也称“斐波那契螺旋线”，是把柄斐波那契数列画出来的螺旋弧线.图片
4.若何找黄金分割点:(1)如图②，过点B作AB 的垂线，并在垂线上取BC=AB;(2)邻接 AC，以点 C为圆心，CB为半径画弧，交AC 于点 E;(3)以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB 于点P.则点P即为所求.历史文章：真义真义几何 | 黄金三角形10、数学的发现《数学的发现》是2006年科学出书社出书的文籍，作家是(好意思)乔治·波利亚.本书通过对多样类型活泼而好奇的典型问题(有些短长数学的)进行空洞剖判，提议它们的骨子特征，从而回来出多样数学模子.举例:给定A、B和C三个点，作一条直线交 AC于X点，交BC于Y点，使得AX=XY=YB.图片
工口游戏在线玩11、欧几里得欧几里得(约公元前330年~公元前 275年)，夫妻性生活姿势道具古希腊数学家，被称为“几何之父”.他最闻名的著述《几何正本》是欧洲数学的基础，提议五大公设，欧几里得几何，被泛泛合计是历史上最得胜的教科书.欧几里得也写了一些对于透视、圆锥弧线、球面几何学及数论的作品.1.欧几里得定理:直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则由欧几里得定理可得:图片
2.欧几里得解说了命题(y+z)²=y²+z²+2yz，(y+z)(y- z)=y²-z².3.还有相比常见的几何的一些定感性质，如:在职意三角形中，大边对大角等等.12、阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga，约公元前262年~190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德皆名，他的著述《圆锥弧线论》是古代寰球明朗的科学后果.在几何学中，他给出了闻名的阿波罗尼奥斯定理，这是一个对于三角形边长与中线长度关系的定理.阿波罗尼奥斯定理:如图，在△ABC 中，AD 是中线，那么:AB²+AC²=2(AD²+BD²).图片
阿波罗尼奥斯定理的实施即为斯图尔特定理，同期在该定理中，若△ABC是等腰三角形(AB=AC)，则 ADLBC，该定理不错简化为△ABD 或△ACD 的勾股定理.阿波罗尼奥斯圆:点P是平面内一个动点，若点 P到两个定点的距离之比遥远等于一个定值，则点P的携带轨迹是一个圆.阿波罗尼奥斯还提议了很多新的性质，并给出抛物线、椭圆、双弧线、正焦弦等称号，他在解释太阳系内5大行星的携带时，提议了本轮均轮偏心模子，为托勒密的地心说提供了器具.历史文章：几何模子 | 阿氏圆阿氏圆性质及应用阿氏圆的2种构造面目来解题吧 | 费马点+阿氏圆+胡不归13、泰勒斯泰勒斯是古希腊时期的念念想家、科学家、形而上学家，泰勒斯在数学方面划时间的孝顺是引入了命题解说的念念想，它符号着东说念主们对客不雅事物的坚贞从陶冶高潮到表面，这在数学史上是一次不寻常的飞跃.在数学中引入逻辑解说，它的迫切道理在于:保证了命题的正确性;揭示各定理之间的内在连络，使数学组成一个严实的体系，为进一步发展打下基础;使数学命题具有充分的劝服力，令东说念主服气不疑.1.泰勒斯定理以他的名字定名，其内容为:若A，B，C是圆周上的三点，且AC是该圆的直径，那么∠ABC 势必为直角，粗略说，直径所对的圆周角是直角.图片
2.他曾应用日影来测量金字塔的高度，曾经准确的揣渡过日食，他是古希腊第一个将一年修正为365天的东说念主.14、圆幂定理圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的调处.1.相交弦定理:如图①，若圆内狂放弦AB弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD2.割线定理:如图②，P是圆外少许，过点P的两条直线分袂与圆交于点A、B、C、D，则PA·PB=PC.PD. 图片
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3.切割线定理:如图③，P是圆外少许，直线PA与圆交于点A、B，PT是圆的切线，T为切点，则PT²=PA·PB.15、月形定理当用尺规作图，求作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积，即“化圆为方”问题.这是古希腊的三浩劫题之一，亦然其中最难科罚的一个问题.月形定理实验上是勾股定理实施的一个应用，它是由古希腊几何学家希波克拉底提议的，主如果科罚圆形和方形面积滚动问题(化圆为方).得出论断如下:如图，两个新月形的面积之和，等于△ABC的面积，即 S+S₂=S3.图片
16、蝴蝶定理蝴蝶定理(Butterfly Theorem)，是古代欧氏平面几何中最精彩的竣事之一.这个命题最早出目前1815 年，由 W.G.霍纳提议解说.而“蝴蝶定理”这个称号最早出目前《好意思国数学月刊》1944年2月号，题方针图形像一只蝴蝶.蝴蝶的体态具有对称性，它的身长与展开的翅膀之比为黄金比，那么它还具有哪些性质呢?将这种蝴蝶身上的6个特殊点(图①)邻接起来，不错取得图②，其中包含3个等腰梯形，若四边形ABDC 是等腰梯形，MN过对角线AD、BC的交点H，且 AB//MN// CD，则咱们不错取得很多论断，举例:△ABC≌△BAD，△ACD≌△BDC，△AHC≌ △BHD，△ABH~△DCH等等.若四边形ABDC是一般梯形，你能猜出哪些论断仍然建造吗?图片
圆中的蝴蝶定理:如图③，设M为圆内弦 PQ的中点，过M作弦 AB和CD，设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点.图片
该定理不仅有很多实施，举例:点M移到圆外，也不错将圆变为一个筝形，M为对角线交点，其逆定理也建造.17、婆罗摩笈多婆罗摩笈多(Brahmagupta)，是七世纪时的印度数学家，他编辑了《婆罗摩修正体系》(数学方面)和《肯达克迪迦》(天体裁方面)两部著述.数学部分波及到三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的征询，他提议的一些办法辞寰球数学史上有很高的地位.1. 婆罗摩笈多定理:若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于该四边形一边且过对角线交点的直线将瓜分对边.即:如图，圆内接四边形ABCD 的对角线ACIBD，垂足为M，过M作EF⊥BC于点 E，交AD于点F，那么F是AD 的中点.图片
2. 婆罗摩笈多四边形面积公式:若圆内接四边形的四边长为a，b，c，d，则其面积为:图片
，其中s为半周长，即S= （a+b+c+d）/2，自后东说念主们历程征询对婆罗摩笈多公式进行了膨胀，不错取得一般四边形的面积的缱绻公式:图片
，其中0是四边形狂放一组对角的度数和的一半，图片
历史文章：几何模子 | 婆罗摩笈多定理&模子&公式真义真义几何｜海盗埋宝&婆罗摩笈多18、欧拉欧拉是18世纪数学界最突出的东说念主物之一，他不但为数学界作出孝顺，更把通盘数学推至物理的限制.他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大都的力学、分析学、几何学、变分法等的教材，《无尽小分析引论》、《微分学道理》、《积分学道理》等都成为数学界中的经典著述.欧拉对数学的征询如斯之泛泛，因此在很多数学的分支中也可泛泛见到以他的名字定名的迫切常数、公式和定理.1.欧拉定理:设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d²=R²-2Rr.2.欧拉线定理:狂放不等边的△ABC的外心O、要点G、垂心H三点共线，则HG=2G0.3.欧拉恒等式:对于整数甲、乙、a、b、c、d、e、f、g、h，若甲=a²+b²+c²+d²，乙=e²+f²+g²+h²，则甲x乙=A2+ B²+C²+D²，其中A、B、C、D亦然整数，即(a²+b²+c²+ d²)(e²+f²+g²+h²)=A²+B²+C²+D².19、阿基米德阿基米德(公元前287年~公元前212年)，伟大的古希腊形而上学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基东说念主，何况享有“力学之父”的好意思称，阿基米德和高斯、牛顿并排为寰球三大数学家.1.鞋匠刀形:如图①，若C是线段AB上的任少许，分袂以 AB，BC，CA 为直径且在AB的同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形.图片
阿基米德解说了鞋匠刀形的面积等于以AC为直径的圆的面积.如果鞋匠刀形内两个内切圆位于AC的两侧，并与AC相切，那么这两个圆格外.2.阿基米德折弦定理:如图②所示，AB 和BC是⊙0的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧 ABC 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦 ABC 的中点，即CD=AB+BD.图片
3.圆的引理:阿基米德提议了六个圆相干的引理，其中一个是:如图③，设AB是一个半圆的直径，何况过点B的切线与过该半圆上的狂放少许D的切线交于点 T，如果作 DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则 DF=EF.图片
历史文章：定贯通说 | 阿基米德折弦定理20、费马皮埃尔·德·费马，17世纪法国讼师和业尾数学家，被誉为“业尾数学家之王”.1638年，勒内.笛卡儿邀请费马念念考对于到三个偏激距离为定值的函数问题，费马历程念念考并由此提议费马点的相干论断.界说:若一个三角形的最大内角小于 120°，则在其里面有少许，可使该点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫作念这个三角形的费马点.举例:如图，点P是△ABC的费马点.图片
费马大定理:费马的论断即是:当当然数n≥3时，对于x，y，z的方程x"+y"=z"莫得正整数解.历史文章：几何模子 | 费马点来解题吧 | 加权费马点来解题吧 | 半角模子与费马点完竣纠合来解题吧 | 费马点+阿氏圆+胡不归21、梅涅劳斯定理梅涅劳斯(Menelaus)是公元1世纪时的古希腊数学家兼天体裁家，著有几何学和三角学方面的很多竹素.梅涅劳斯定理(简称梅式定理)，最早出目前梅涅劳斯的著述《球面体》.图片
22、塞瓦定理塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)，意大利水利工程师，数学家.塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦紧要发现.图片
塞瓦定理追念关节:三偏激选一个看成伊始，定一场地，绕一圈，三组比例相乘为一.23、托勒密克罗狄斯·托勒密是古希腊后期闻名数学家，天体裁家，地舆学家和光学家，他一世写了多部科学著述，其中有三部对科学发展有紧要影响.第一个是目前被称为Almagest 的天文论文(即《天体裁大成》)，尽管它领先被称为《数学论文》，然后又被称为《伟大论文》.第二个是地舆，第三个是占星论说文.图片
托勒密定理:在一个圆内接四边形中，如图②，有 AB·CD+AD·BC=AC·BD.(托勒密定理的一个特例即是咱们熟知的勾股定理)历史文章：定贯通说 | 托勒密定理来解题吧 | 托勒密、斯图尔特、暴力解题一皆来24、西姆松定理罗伯特·西姆松是英国数学家，他在几何学和算术方面都有一些孝顺，他曾于1756年校订过欧几里得的《几何正本》.西姆松定理是一个平面几何定理.其表述为:过三角形外接圆上异于三角形偏激的狂放少许作三边或其延迟线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线);西姆松定理的逆定理为:若少许在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.图片
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